Un silencio invadi\u00f3 el sal\u00f3n… \u00a1Esa pregunta no ten\u00eda nada que ver con f\u00edsica cu\u00e1ntica!<\/em><\/strong><\/span><\/p>\n En una carrera de velocidad, conocida como sprint<\/em>, el atleta corre de un lado a otro sin experimentar obst\u00e1culo alguno, por ende, para describirlo bastar\u00e1 considerar un vector momentum<\/em>, el cual indicar\u00e1 su masa y su velocidad.<\/p>\n Como se aprecia en la Figura 1, en el sprint<\/em> de 100 metros planos, cada corredor va por su carril en l\u00ednea recta sin interactuar con el otro. Es decir, sea lo que haga el corredor A jam\u00e1s afectar\u00e1 lo que haga el corredor B. En el lenguaje de los f\u00edsicos se dice que no hay interacci\u00f3n entre los corredores. En el mundo cu\u00e1ntico existe un modelo que tiene mucha analog\u00eda con el sprint<\/em> y se le conoce como el modelo del electr\u00f3n libre (free-electron <\/em>en ingl\u00e9s)<\/em>. Y en sistemas mesosc\u00f3picos, es decir, estadios m\u00e1s grandes que el tama\u00f1o de un \u00e1tomo pero a\u00fan as\u00ed m\u00e1s peque\u00f1os que el grosor de tu cabello, los corredores son llamados\u00a0electrones de conducci\u00f3n. <\/em>Por consiguiente, en un modelo free-electron<\/em> decimos que no existe interacci\u00f3n electr\u00f3n-electr\u00f3n. Adicionalmente, al considerar estadios cuyas pistas son lisas podemos decir que no existen impurezas que perturben al corredor, o en el mundo cu\u00e1ntico, no existen interacciones del tipo electr\u00f3n-impurezas.<\/p>\n Una carrera de 100 metros planos puede ser descrita \u201cte\u00f3ricamente\u201d por un corredor. Para esto bastar\u00e1 que un solo atleta corra 8 veces con los valores de momentum<\/em> dados por los otros atletas. Esto implicar\u00eda cambiar la velocidad y masa del corredor 8 veces, algo dificil de visualizar en el mundo cl\u00e1sico, pero si hablamos de un modelo \u201cte\u00f3rico\u201d entonces si es posible. Y esto es lo que se hace en un estudio cu\u00e1ntico; sin embargo, en el mundo cu\u00e1ntico no s\u00f3lo son 8 electrones los que corren en un sistema mesosc\u00f3pico, para efectos pr\u00e1cticos decimos que son infinitos, es decir, existen infinitos valores para el vector momentum. <\/em>La ventaja del mundo cu\u00e1ntico es que los electrones son part\u00edculas indistinguibles, i.e., tienen la misma masa; por consiguiente, el vector momentum<\/em> puede asociarse \u00fanicamente a su velocidad. Este vector es definido como p <\/strong>= m v, <\/strong>donde m es la masa y v <\/strong>el vector velocidad. En el mundo cu\u00e1ntico se prefiere trabajar con el vector de onda\u00a0k<\/strong>, donde p <\/strong>= hbar k. <\/strong>\u201chbar\u201d es la constante de Planck. Para efectos pr\u00e1cticos podemos considerar \u201chbar=1,\u201d entonces obtenemos p <\/strong>= k,<\/strong> lo cual nos permitir\u00e1, a partir de ahora, hablar indistintamente entre el vector momentum<\/em> y el vector de onda.<\/p>\n En el mundo cl\u00e1sico, el corredor m\u00e1s lento puede ser descrito con una velocidad igual a cero, v<\/strong>=0<\/strong>, mientras que el m\u00e1s r\u00e1pido puede alcanzar una velocidad m\u00e1xima que denominaremos velocidad de Fermi o vF<\/sub><\/strong> = kF<\/sub>\/<\/strong>m. Actualmente el corredor m\u00e1s r\u00e1pido es Usain Bolt, podemos decir entonces que actualmente \u00e9l posee la velocidad de Fermi en el planeta. \u00bfQu\u00e9 pasa si Usain Bolt va a la Luna a correr? Es muy probable que su valor vF<\/sub><\/strong> disminuya, lo que significa que en la Luna Bolt correr\u00eda m\u00e1s lento que en la Tierra, esto debido a una fricci\u00f3n reducida en ella. Por consiguiente, el nivel de Fermi est\u00e1 determinado\u00a0por el sistema en el cual se compite. En el mundo cu\u00e1ntico decimos que el electr\u00f3n m\u00e1s lento posee una velocidad v<\/strong>=0<\/strong> y su velocidad de Fermi viene dada por vF<\/sub><\/strong> = kF<\/sub>\/<\/strong>m. De la misma forma que Usain Bolt experimenta diferentes velocidades ya sea en la Tierra o en la Luna, el electr\u00f3n tambi\u00e9n experimenta diferentes velocidades dependiendo del sistema donde se encuentre. La diferencia radica en que a nivel cu\u00e1ntico no hablamos de la fricci\u00f3n del corredor sino de un cambio en su masa, es decir, la masa del electr\u00f3n var\u00eda dependiendo del material por donde se desplaze. En el caso del mundo cl\u00e1sico la masa es una constante, claro est\u00e1, siempre y cuando Usain Bolt no pierda un brazo en un accidente.<\/p>\n Hasta ahora hemos mencionado al vector momentum<\/em> p = k<\/strong>. Considerando este vector podemos definir la energ\u00eda cin\u00e9tica del corredor o del electr\u00f3n como E = k<\/strong>2<\/sup>\/2m, pero esta es s\u00f3lo la energ\u00eda cin\u00e9tica, existen otras formas de energ\u00eda que el corredor o el electr\u00f3n puede tener. En el mundo cu\u00e1ntico, si nos enfocamos en un modelo free-electron<\/em>, la energ\u00eda total del electr\u00f3n viene dada \u00fanicamente por la energ\u00eda cin\u00e9tica ya que no existen otras formas de interacci\u00f3n. Entonces, si al estudiar un sistema observamos que la energ\u00eda del electr\u00f3n se aproxima\u00a0al cuadrado del vector k <\/strong>entonces el modelo free-electron<\/em> ser\u00e1 suficiente para describirlo cualitativamente. El modelo tight binding<\/em> puede ser asociado a una carrera con vallas, en este caso, como se aprecia en la Figura 2, los 8 atletas tienen que superar obst\u00e1culos, los cuales est\u00e1n espaciados equidistantemente. Estas vallas a nivel cu\u00e1ntico ser\u00edan los potenciales at\u00f3micos del sistema mesosc\u00f3pico, que denominaremos de ahora en adelante un cristal<\/em>, es decir, los electrones de conducci\u00f3n en un cristal sienten la presencia de los \u00e1tomos, y esta presencia los perturba en forma similar a las vallas. En el mundo cl\u00e1sico, los corredores mantienen su trayectoria, en el mundo cu\u00e1ntico, si nos enfocamos en un sistema que puede ser descrito por un modelo unidimensional, como es el caso de un MTJ, ocurre algo similar. \u00bfQu\u00e9 diferencia trae entonces considerar un modelo free-electron o un modelo tight binding? Si nos imaginamos corriendo una carrera con vallas y luego una carrera sin ellas notaremos la diferencia, en la primera nos cansaremos m\u00e1s que en la segunda, es decir, las vallas modifican la energ\u00eda del corredor; esta ya no ser\u00e1 exactamente proporcional al cuadrado del vector k<\/strong>. Esto quiere decir que en realidad el modelo del electr\u00f3n libre es muy inexacto; sin embargo, es el modelo m\u00e1s simple y por ende sus resultados pueden ser de gran utilidad. Hasta ahora hemos obviado a las impurezas. \u00bfC\u00f3mo se comporta el electr\u00f3n en presencia de ellas? En forma similar a como t\u00fa te comportas cuando llegas a una discoteca y tienes que cruzar la pista de baile para llegar a la barra y pedir un trago. Algunas personas, d\u00edcese impurezas, te cerrar\u00e1n el paso, otras te empujar\u00e1n, y t\u00fa al final terminar\u00e1s tomando un camino largo y complicado. Esta interacci\u00f3n entre el electr\u00f3n y la impureza se denomina scattering, <\/em>es decir el vector momentum del electr\u00f3n sufrir\u00e1 un cambio en direcci\u00f3n y magnitud. Si hay muchas impurezas en el sistema, tal como personas en una discoteca, al\u00a0cabo de un tiempo, el electr\u00f3n no recordar\u00e1 cual fue su vector k<\/strong> inicial y s\u00f3lo recordar\u00e1 su vector k<\/strong> final o \u00bfacaso t\u00fa recuerdas la ruta exacta cada vez que pides una cerveza en una discoteca? Pero para que existan muchas impurezas en un sistema, este debe ser relativamente grande, digamos que 100 veces m\u00e1s grande que el grosor del aislante en un MTJ.<\/p>\n \u00bfC\u00f3mo se puede modelar una impureza? Los potenciales at\u00f3micos fueron modelados como vallas, pero estas, a fin de cuenta, s\u00f3lo perturbaron la energ\u00eda del electr\u00f3n. Por l\u00f3gica, si deseamos que el electr\u00f3n sufra un duro golpe, d\u00edcese scattering<\/em>, necesitamos una valla m\u00e1s alta. La forma m\u00e1s sencilla de modelar matem\u00e1ticamente una impureza es considerando una funci\u00f3n delta, o lo que ser\u00eda hacer que el electr\u00f3n compita en el salto con p\u00e9rtiga tal como se muestra en la Figura 3. En el\u00a0mundo cl\u00e1sico el atleta usa una colchoneta para que al caer no pierda el conocimiento y pueda recordar su vector k<\/strong> inicial. En el mundo cu\u00e1ntico no existe tal colchoneta, por ende el electr\u00f3n perder\u00e1 noci\u00f3n de su vector k<\/strong> inicial al cabo de muchos golpes. Este tipo de modelo free-electron<\/em> con impurezas es denominado el modelo semicl\u00e1sico, o cu\u00e1ntico, de Boltzmann<\/em>.<\/p>\n La pregunta pendiente ser\u00eda, \u00bfse puede modelar un modelo tight binding con impurezas? Por suspuesto. En este caso, como imaginar\u00e1s, se trabajar\u00e1 con vallas de diferentes alturas, predispuestas aleatoriamente en el sistema. Esto debido a que uno no puede determinar exactamente la ubicaci\u00f3n de las impurezas entonces que mejor forma de ubicarlas que en forma aleatoria.<\/p>\n Sin duda estos modelos son los m\u00e1s simples y por ende permiten comprender f\u00e1cilmente la f\u00edsica detr\u00e1s de un problema. Claro est\u00e1, hemos obviado algo importante y es la interacci\u00f3n electr\u00f3n-electr\u00f3n. El gran problema de considerar esta interacci\u00f3n e inclusive otros tipos de interacci\u00f3n es que en un cristal el n\u00famero de electrones es muy grande, tan grande que demorar\u00edamos siglos en poder resolver la ecuaci\u00f3n. Por eso, para poder resolverla los f\u00edsicos emplean super computadoras, y este modelo que trata de considerar todas las interacciones posibles y de resolver la ecuaci\u00f3n a trav\u00e9s de una super computadora es denominado Density Functional Theory<\/em> (DFT) o en el lenguaje com\u00fan se le conoce como los c\u00e1lculos ab-initio. <\/em><\/p>\n En conclusi\u00f3n, los c\u00e1lculos ab-initio<\/em> nos dar\u00e1n resultados m\u00e1s exactos. Sin embargo, cuanto m\u00e1s exacta es la soluci\u00f3n, m\u00e1s dificil es encontrar la causa. Por eso, estos 4 modelos descritos ac\u00e1, se complementan unos a otros y siempre estar\u00e1n presentes cuando se trate de estudiar un sistema cu\u00e1ntico.<\/p>\n Christian Ortiz, PhD.<\/p>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" \u00bfCu\u00e1l es el deporte m\u00e1s antiguo del mundo? \u2013 Pregunt\u00f3 el profesor.\u00a0 Un silencio invadi\u00f3 el sal\u00f3n… \u00a1Esa pregunta no ten\u00eda nada que ver con f\u00edsica cu\u00e1ntica! 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\nEn el rubro de la espintr\u00f3nica<\/em> existe un sistema nanom\u00e9trico que puede ser descrito satisfactoriamente considerando este modelo, se le conoce como una juntura t\u00fanel magn\u00e9tica (MTJ, magnetic tunnel junction<\/em> en ingl\u00e9s), el cual est\u00e1 formado por dos capas met\u00e1licas ferromagn\u00e9ticas separadas por un aislante. En este sistema, en las capas magn\u00e9ticas el comportamiento de los electrones puede asociarse al de los\u00a0corredores de sprint. <\/em>Y en el aislante experimentan lo que solemos llamar el efecto t\u00fanel<\/em>, es decir, los electrones atraviesan el aislante preservando las caracter\u00edsticas de un corredor de sprint. Pero el modelo del electr\u00f3n libre<\/em> es s\u00f3lo una aproximaci\u00f3n, un modelo m\u00e1s exacto requerir\u00e1 considerar otros tipos de interacciones, tal es el caso del modelo tight binding<\/em>.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/www.cientificos.pe\/wp-content\/uploads\/2016\/11\/Cris2-300x164.jpg\")
\nEn forma similar al sprint<\/em>, para tener una imagen global de la carrera con vallas bastar\u00e1 hacer correr a un solo atleta con diferentes valores de momentum. <\/em>A nivel cu\u00e1ntico decimos que se trata de un modelo single electron tight binding <\/em>porque s\u00f3lo consideramos un electr\u00f3n y lo haremos correr muchas veces, o para decirlo matem\u00e1ticamente, integraremos su resultado sobre todos los posibles vectores k<\/strong>.<\/em><\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/www.cientificos.pe\/wp-content\/uploads\/2016\/11\/Cris3-225x300.jpg\")