Despacito es el vídeo más visto en Youtube: Una introducción al cálculo integral

Nota del Autor: “Este artículo fue publicado el 5 de agosto del 2017. Considerando el cálculo integral predijimos que Despacito alcanzaría 4 mil millones de vistas en Youtube en octubre 2017 y 5 mil millones de vistas en abril 2018. Oficialmente, Despacito alcanzó 4 mil millones de vistas el 11 de octubre del 2017 y 5 mil millones de vistas el 4 de abril del 2018.”

Despacito alcanzará 4 mil millones de vistas este año y…

En la primera parte de este artículo publicado el 11 de julio del 2017, haciendo uso de nociones básicas de matemática predijimos que Despacito alcanzaría 3 mil millones de vistas después del 2 de agosto, con una fuerte probabilidad en el umbral de la segunda semana. Oficialmente lo hizo el 4 de agosto en América y el 5 de agosto en Europa y Asia. Su recorrido fue el siguiente (UTC +2):

• Superó a Uptown funk – Bruno Mars, el 14 de julio a las 7:30 PM.
• Superó a Sorry – Justin Bieber, el 19 de julio a las 11:30 AM.
• Superó a Gangnam style – PSY, el 31 de julio a las 5:00 PM.
• Superó a See you again – Wiz Khalifa, el 4 de agosto a las 7:30 PM.
• Alcanzó 3 mil millones de vistas el 5 de agosto a las 00:30 AM.

En esta segunda parte, responderemos a la interrogante ¿cuando alcanzará 4 mil millones de vistas y se consagrará como el único vídeo en hacerlo? La respuesta, una vez más, se encuentra en las matemáticas…

Desde que apareció en el mes de enero, Despacito creció a 6 millones de vistas por día, pasando a 16 millones en el mes mayo y llegando a 21 millones en el mes de julio. ¿Crecerá más? No, no lo hará, Fonsi decaerá alcanzando un nivel estable en enero del 2018 (6 meses después de llegar a su pico más alto, que fue a finales de julio), esto debido a que otras canciones han tenido ese desenlace. Probablemente en enero su valor oscile alrededor de los 3 millones de vistas por día, ¿por qué? Porque ha sido el valor estable de muchas canciones icónicas. Aquí algunos ejemplos:

Estos datos serán suficientes para predecir el futuro de la canción haciendo uso del Cálculo Integral desarrollado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII. Probablemente en ese tiempo, estos genios tuvieron que afrontar un problema similar y fue así que desarrollaron el Cálculo, por eso remontémonos en el tiempo y veamos lo que ellos hubiesen hecho…

Para empezar, Newton se hubiese encerrado en su habitación, era una persona tímida y prefería la soledad. Luego habría trazado en un papel una gráfica similar a la siguiente,

En ella habría mostrando que en 6 meses (de agosto 2017 a enero 2018) Despacito caería linealmente de 21 millones a 3 millones de vistas por día (ver línea azul en la Figura 1), alcanzando un valor estable y constante a partir de febrero. Con ello, sabiendo que a inicios de agosto Despacito tiene 3 mil millones de vistas ¿podemos determinar en qué momento alcanza 4 mil millones de vistas? Se ve un poco complicado, debido a esto, Newton y Leibniz por separado idearían un truco… ¡Trazarían los rectángulos mostrados en la Figura 1! ¿Por qué? Porque sería más fácil de manejar, al hacerlo asumirían que en agosto Despacito tendría un valor constante de 18 millones de vistas por día, en setiembre de 15 millones, en octubre de 12 millones, en noviembre de 9, en diciembre de 6 y en enero de 3. Con esto, considerando que el mes tiene 30 días, generarían la siguiente tabla:

De la tabla se puede ver que sumando agosto y setiembre, Despacito acumula 990 millones, con lo cual sólo necesitaría 10 millones para alcanzar 4 mil millones de vistas en total. Y al culminar enero, estaría llegando a 4 890 millones, con lo cual le faltaría 110 millones para llegar a la cifra de 5 mil millones de vistas en total. Tomando en consideración la fecha exacta en la que Despacito acumuló 3 mil millones de vistas y asumiendo que después de enero mantiene un valor estable de 3 millones de vistas por día se puede concluir que:

• • Despacito supera 4 mil millones de vistas el 5 de octubre del 2017.

• • Despacito supera 5 mil millones de vistas el 12 de marzo del 2018.

Estas fechas no corresponden a la recta azul sino a la aproximación dada por los rectángulos. Lo curioso es que el área de cada rectángulo mostrado en la Figura 1 representa el número total de vistas en cada mes, e.g., para agosto, el ancho del rectángulo es 30 (días) y el largo es 18 (número de vistas por día), el número total de vistas es 30 x 18, tal como aparece en la tabla superior. !Dios mío! –diría Newton, quien era un ferviente cristiano y se jalaría de los pelos en su pequeño cuarto en Woolsthorpe. Leibniz haría lo mismo sentado en París.
Ambos estaban fascinados con el concepto de lo infinitesimal, al punto que se vieron inmersos en debates filosóficos sobre la existencia de las mónadas. Debido a esto, en algún momento se cuestionaron, ¿qué pasaría si dibujamos más rectángulos y los hacemos más delgados, infinitesimalmente tan delgados que describirían exactamente el área bajo la curva (la línea azul en nuestro caso)? Este pensamiento tan simple traería una conclusión maravillosa: “El área bajo la curva, sin importar que tan complicada sea esta curva, nos daría el número total de vistas.”

Para visualizar este pensamiento consideremos la Figura 2, donde mostramos la evolución del número de vistas de Despacito desde Enero hasta Agosto del 2017. Como se puede observar, el comportamiento real no es lineal, pero Newton y Leibniz nos mostraron que para encontrar el número total de vistas bastaba hallar el área bajo la curva, en este caso el área bajo la línea verde. Trazando rectángulos delgados en el mes de marzo (tal como se aprecia en la Figura 2) y sumando sus áreas podemos obtener aproximadamente el número total de vistas en dicho mes. El valor es inexacto pero si consideramos rectángulos infinitesimalmente delgados nos acercaremos al valor real. Esta conclusión les permitió desarrollar el Cálculo Integral, que en palabras sencillas significa: “Para hallar el área total bajo la curva basta sumar el área de rectángulos infinitesimalmente delgados.” Para esto es necesario conocer la ecuación de nuestra curva. En la Figura 1 es una recta, cuya ecuación general fue mencionada en la primera parte de este artículo. En la Figura 2 la ecuación es más compleja pero no imposible de obtener. En este caso nos centraremos en la Figura 1, cuya ecuación de la recta viene dada por la función f(t) = 21 – t/10, donde t representa el tiempo expresado en días. Esta función nos permitirá obtener el largo del rectángulo y el ancho vendrá dado por un valor infinitesimalmente pequeño. Por tanto ya tenemos el área de cada rectángulo y sólo bastará sumarlos. Matemáticamente, dicha suma infinitesimal se expresa de la siguiente forma:

En la izquierda tenemos la ecuación de nuestra recta, f(t). El símbolo en forma de una S elongada nos dice que sumaremos rectángulos infinitesimalmente delgados partiendo en el día 0 y culminando en el día d, fecha para la cual acumularemos 1 000 millones de vistas. Resolviéndola tenemos:

• • Despacito supera 4 mil millones de vistas el 30 de setiembre del 2017.

• • Despacito supera 5 mil millones de vistas el 1 de enero del 2018.

¿Qué tan certeros son estos resultados?

Sólo el tiempo lo dirá. Estamos asumiendo un decaimiento lineal pero en realidad su decaimiento será caótico, con incrementos y decrementos, muy similar al crecimiento visto en la Figura 2, pero este sencillo cálculo nos permite vislumbrar que la primera semana de octubre Despacito llegará a 4 mil millones de vistas y el próximo año, entre enero y abril, se consolidará con 5 mil millones de vistas. ¿Podrá alguna canción superar este récord? Difícilmente en el corto tiempo, la gran ventaja que tienen las nuevas canciones es que la conexión global a internet está aumentando; sin embargo, si la población mundial disminuye por diversos motivos, pasarán muchísimos años hasta que alguna canción lo llegue a destronar.

Christian Ortiz PhD

SPINTEC laboratory, CEA Grenoble